{l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x-yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

2y+xతో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18yని పొందడం కోసం -4y మరియు -14yని జత చేయండి.

$$8x-18y-7x=-36$$

xని పొందడం కోసం 8x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$x-18y=-36$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+2తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-2x-4-7y=-18$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14ని పొందడం కోసం -18 మరియు 4ని కూడండి.

$$-2x-7y=-14$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-18y=-36$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 18yని కూడండి.

$$x=18y-36$$

మరొక సమీకరణములో xను -36+18y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

-2 సార్లు -36+18yని గుణించండి.

$$-36y+72-7y=-14$$

-7yకు -36yని కూడండి.

$$-43y+72=-14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 72ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-43y=-86$$

రెండు వైపులా -43తో భాగించండి.

$$y=2$$

x=18y-36లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=18\times 2-36$$

18 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=36-36$$

36కు -36ని కూడండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x-yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

2y+xతో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18yని పొందడం కోసం -4y మరియు -14yని జత చేయండి.

$$8x-18y-7x=-36$$

xని పొందడం కోసం 8x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$x-18y=-36$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+2తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-2x-4-7y=-18$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14ని పొందడం కోసం -18 మరియు 4ని కూడండి.

$$-2x-7y=-14$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x-yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

2y+xతో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18yని పొందడం కోసం -4y మరియు -14yని జత చేయండి.

$$8x-18y-7x=-36$$

xని పొందడం కోసం 8x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$x-18y=-36$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+2తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-2x-4-7y=-18$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14ని పొందడం కోసం -18 మరియు 4ని కూడండి.

$$-2x-7y=-14$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x-7y=-14ని -2x+36y=72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

2xకు -2xని కూడండి. -2x మరియు 2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$36y+7y=72+14$$

7yకు 36yని కూడండి.

$$43y=72+14$$

14కు 72ని కూడండి.

$$43y=86$$

రెండు వైపులా 43తో భాగించండి.

$$y=2$$

-2x-7y=-14లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x-7\times 2=-14$$

-7 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$-2x-14=-14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 14ని కూడండి.

$$-2x=0$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=2$$