{l}{30x+60y=72}{10x+30y=360} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 60 y = 72 } \\ { 10 x + 30 y = 360 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{324}{5} = -64\frac{4}{5} = -64.8$$

$$y = \frac{168}{5} = 33\frac{3}{5} = 33.6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$30x+60y=72,10x+30y=360$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$30x+60y=72$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 60yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30x=-60y+72$$

రెండు వైపులా 30తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{30}\left(-60y+72\right)$$

\frac{1}{30} సార్లు -60y+72ని గుణించండి.

$$x=-2y+\frac{12}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+\frac{12}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 10x+30y=360.

$$10\left(-2y+\frac{12}{5}\right)+30y=360$$

10 సార్లు -2y+\frac{12}{5}ని గుణించండి.

$$-20y+24+30y=360$$

30yకు -20yని కూడండి.

$$10y+24=360$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y=336$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=\frac{168}{5}$$

x=-2y+\frac{12}{5}లో yను \frac{168}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\times \frac{168}{5}+\frac{12}{5}$$

-2 సార్లు \frac{168}{5}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-336+12}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{336}{5}కు \frac{12}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{324}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{324}{5},y=\frac{168}{5}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$30x+60y=72,10x+30y=360$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}30&60\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\360\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&60\\10&30\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&60\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&60\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&60\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\360\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&60\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\360\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&60\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\360\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-60\times 10}&-\frac{60}{30\times 30-60\times 10}\\-\frac{10}{30\times 30-60\times 10}&\frac{30}{30\times 30-60\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\360\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{30}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\360\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 72-\frac{1}{5}\times 360\\-\frac{1}{30}\times 72+\frac{1}{10}\times 360\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{324}{5}\\\frac{168}{5}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{324}{5},y=\frac{168}{5}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$30x+60y=72,10x+30y=360$$

30x మరియు 10xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 10తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 30తో గుణించండి.

$$10\times 30x+10\times 60y=10\times 72,30\times 10x+30\times 30y=30\times 360$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$300x+600y=720,300x+900y=10800$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 300x+900y=10800ని 300x+600y=720 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$300x-300x+600y-900y=720-10800$$

-300xకు 300xని కూడండి. 300x మరియు -300x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$600y-900y=720-10800$$

-900yకు 600yని కూడండి.

$$-300y=720-10800$$

-10800కు 720ని కూడండి.

$$-300y=-10080$$

రెండు వైపులా -300తో భాగించండి.

$$y=\frac{168}{5}$$

10x+30y=360లో yను \frac{168}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$10x+30\times \frac{168}{5}=360$$

30 సార్లు \frac{168}{5}ని గుణించండి.

$$10x+1008=360$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1008ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x=-648$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$x=-\frac{324}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{324}{5},y=\frac{168}{5}$$