{l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$3y-7x=-9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7xని కూడండి.

$$3y=7x-9$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 7x-9ని గుణించండి.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{7x}{3}-3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

2 సార్లు \frac{7x}{3}-3ని గుణించండి.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

5xకు \frac{14x}{3}ని కూడండి.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$\frac{29}{3}x=29$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{29}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=3$$

y=\frac{7}{3}x-3లో xను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

\frac{7}{3} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$y=7-3$$

7కు -3ని కూడండి.

$$y=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=4,x=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=4,x=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

3y మరియు 2yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6y+15x=69ని 6y-14x=-18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

-6yకు 6yని కూడండి. 6y మరియు -6y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-14x-15x=-18-69$$

-15xకు -14xని కూడండి.

$$-29x=-18-69$$

-69కు -18ని కూడండి.

$$-29x=-87$$

రెండు వైపులా -29తో భాగించండి.

$$x=3$$

2y+5x=23లో xను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2y+5\times 3=23$$

5 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$2y+15=23$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y=8$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=4,x=3$$