{l}{3x-7y=24}{6x+3y=99} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 24 } \\ { 6 x + 3 y = 99 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=15$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-7y=24$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7yని కూడండి.

$$3x=7y+24$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+24\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 7y+24ని గుణించండి.

$$x=\frac{7}{3}y+8$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{7y}{3}+8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x+3y=99.

$$6\left(\frac{7}{3}y+8\right)+3y=99$$

6 సార్లు \frac{7y}{3}+8ని గుణించండి.

$$14y+48+3y=99$$

3yకు 14yని కూడండి.

$$17y+48=99$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 48ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$17y=51$$

రెండు వైపులా 17తో భాగించండి.

$$y=3$$

x=\frac{7}{3}y+8లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{7}{3}\times 3+8$$

\frac{7}{3} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=7+8$$

7కు 8ని కూడండి.

$$x=15$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=15,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{7}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 24+\frac{7}{51}\times 99\\-\frac{2}{17}\times 24+\frac{1}{17}\times 99\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=15,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

3x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\times 24,3\times 6x+3\times 3y=3\times 99$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$18x-42y=144,18x+9y=297$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 18x+9y=297ని 18x-42y=144 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$18x-18x-42y-9y=144-297$$

-18xకు 18xని కూడండి. 18x మరియు -18x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-42y-9y=144-297$$

-9yకు -42yని కూడండి.

$$-51y=144-297$$

-297కు 144ని కూడండి.

$$-51y=-153$$

రెండు వైపులా -51తో భాగించండి.

$$y=3$$

6x+3y=99లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x+3\times 3=99$$

3 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$6x+9=99$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=90$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=15$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=15,y=3$$