{l}{3x-5y=7}{4x+2y=5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-5y=7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$3x=5y+7$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 5y+7ని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5y+7}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+2y=5.

$$4\left(\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=5$$

4 సార్లు \frac{5y+7}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{20}{3}y+\frac{28}{3}+2y=5$$

2yకు \frac{20y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{26}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{28}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{26}{3}y=-\frac{13}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{26}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}లో yను -\frac{1}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{5}{3} సార్లు -\frac{1}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{5}{6}కు \frac{7}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 7+\frac{5}{26}\times 5\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

3x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 7,3\times 4x+3\times 2y=3\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12x-20y=28,12x+6y=15$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12x+6y=15ని 12x-20y=28 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x-12x-20y-6y=28-15$$

-12xకు 12xని కూడండి. 12x మరియు -12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-20y-6y=28-15$$

-6yకు -20yని కూడండి.

$$-26y=28-15$$

-15కు 28ని కూడండి.

$$-26y=13$$

రెండు వైపులా -26తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{2}$$

4x+2y=5లో yను -\frac{1}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

2 సార్లు -\frac{1}{2}ని గుణించండి.

$$4x-1=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$4x=6$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{3}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$