{l}{3x-2y=60}{2x+3y=17.2} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 60 } \\ { 2 x + 3 y = 17.2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{1072}{65} = 16\frac{32}{65} \approx 16.492307692$$

$$y = -\frac{342}{65} = -5\frac{17}{65} \approx -5.261538462$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-2y=60$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$3x=2y+60$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+60\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 60+2yని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y+20$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{2y}{3}+20 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+3y=17.2.

$$2\left(\frac{2}{3}y+20\right)+3y=17.2$$

2 సార్లు \frac{2y}{3}+20ని గుణించండి.

$$\frac{4}{3}y+40+3y=17.2$$

3yకు \frac{4y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{13}{3}y+40=17.2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 40ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{13}{3}y=-22.8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{342}{65}$$

x=\frac{2}{3}y+20లో yను -\frac{342}{65} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{342}{65}\right)+20$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{2}{3} సార్లు -\frac{342}{65}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{228}{65}+20$$

-\frac{228}{65}కు 20ని కూడండి.

$$x=\frac{1072}{65}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 60+\frac{2}{13}\times 17.2\\-\frac{2}{13}\times 60+\frac{3}{13}\times 17.2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1072}{65}\\-\frac{342}{65}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

3x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 60,3\times 2x+3\times 3y=3\times 17.2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x-4y=120,6x+9y=51.6$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+9y=51.6ని 6x-4y=120 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x-4y-9y=120-51.6$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-4y-9y=120-51.6$$

-9yకు -4yని కూడండి.

$$-13y=120-51.6$$

-51.6కు 120ని కూడండి.

$$-13y=68.4$$

రెండు వైపులా -13తో భాగించండి.

$$y=-\frac{342}{65}$$

2x+3y=17.2లో yను -\frac{342}{65} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+3\left(-\frac{342}{65}\right)=17.2$$

3 సార్లు -\frac{342}{65}ని గుణించండి.

$$2x-\frac{1026}{65}=17.2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1026}{65}ని కూడండి.

$$2x=\frac{2144}{65}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1072}{65}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$