{l}{3x+4y=22}{2x+6y=23} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 22 } \\ { 2 x + 6 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+4y=22,2x+6y=23$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+4y=22$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-4y+22$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+22\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -4y+22ని గుణించండి.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{22}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-4y+22}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+6y=23.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{22}{3}\right)+6y=23$$

2 సార్లు \frac{-4y+22}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+6y=23$$

6yకు -\frac{8y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{10}{3}y+\frac{44}{3}=23$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{44}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{10}{3}y=\frac{25}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{10}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{5}{2}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{22}{3}లో yను \frac{5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{22}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{4}{3} సార్లు \frac{5}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{-10+22}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{10}{3}కు \frac{22}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+4y=22,2x+6y=23$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 6-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 6-4\times 2}&\frac{3}{3\times 6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\23\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 22-\frac{2}{5}\times 23\\-\frac{1}{5}\times 22+\frac{3}{10}\times 23\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+4y=22,2x+6y=23$$

3x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$2\times 3x+2\times 4y=2\times 22,3\times 2x+3\times 6y=3\times 23$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x+8y=44,6x+18y=69$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+18y=69ని 6x+8y=44 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x+8y-18y=44-69$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y-18y=44-69$$

-18yకు 8yని కూడండి.

$$-10y=44-69$$

-69కు 44ని కూడండి.

$$-10y=-25$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=\frac{5}{2}$$

2x+6y=23లో yను \frac{5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+6\times \frac{5}{2}=23$$

6 సార్లు \frac{5}{2}ని గుణించండి.

$$2x+15=23$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=8$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=\frac{5}{2}$$