{l}{3x+2y=92}{5x+3y=150} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 92 } \\ { 5 x + 3 y = 150 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=24$$

$$y=10$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+2y=92,5x+3y=150$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+2y=92$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-2y+92$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+92\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -2y+92ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{92}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-2y+92}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+3y=150.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{92}{3}\right)+3y=150$$

5 సార్లు \frac{-2y+92}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{460}{3}+3y=150$$

3yకు -\frac{10y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{460}{3}=150$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{460}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$y=10$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{92}{3}లో yను 10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{92}{3}$$

-\frac{2}{3} సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=\frac{-20+92}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{20}{3}కు \frac{92}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=24$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=24,y=10$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+2y=92,5x+3y=150$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}92\\150\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}92\\150\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}92\\150\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}92\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-2\times 5}&\frac{3}{3\times 3-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}92\\150\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}92\\150\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 92+2\times 150\\5\times 92-3\times 150\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\10\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=24,y=10$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+2y=92,5x+3y=150$$

3x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 92,3\times 5x+3\times 3y=3\times 150$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x+10y=460,15x+9y=450$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x+9y=450ని 15x+10y=460 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x+10y-9y=460-450$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10y-9y=460-450$$

-9yకు 10yని కూడండి.

$$y=460-450$$

-450కు 460ని కూడండి.

$$y=10$$

5x+3y=150లో yను 10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+3\times 10=150$$

3 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$5x+30=150$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=120$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=24$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=24,y=10$$