{l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2k$$

$$y=5k$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+2y=16k$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-2y+16k$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -2y+16kని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-2y+16k}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

5 సార్లు \frac{-2y+16k}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

-4yకు -\frac{10y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{80k}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{22}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=5k$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}లో yను 5k స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

-\frac{2}{3} సార్లు 5kని గుణించండి.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

-\frac{10k}{3}కు \frac{16k}{3}ని కూడండి.

$$x=2k$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2k,y=5k$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2k,y=5k$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x-12y=-30kని 15x+10y=80k నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10y+12y=80k+30k$$

12yకు 10yని కూడండి.

$$22y=80k+30k$$

30kకు 80kని కూడండి.

$$22y=110k$$

రెండు వైపులా 22తో భాగించండి.

$$y=5k$$

5x-4y=-10kలో yను 5k స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

-4 సార్లు 5kని గుణించండి.

$$5x-20k=-10k$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 20kని కూడండి.

$$5x=10k$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=2k$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2k,y=5k$$