{l}{3a+14b=4}{13a+19b=13} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$3a+14b=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 14bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3a=-14b+4$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -14b+4ని గుణించండి.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

మరొక సమీకరణములో aను \frac{-14b+4}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

13 సార్లు \frac{-14b+4}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

19bకు -\frac{182b}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{52}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{125}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$b=\frac{13}{125}$$

a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}లో bను \frac{13}{125} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{14}{3} సార్లు \frac{13}{125}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{182}{375}కు \frac{4}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=\frac{106}{125}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a మరియు 13aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 13తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 39a+57b=39ని 39a+182b=52 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

-39aకు 39aని కూడండి. 39a మరియు -39a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$182b-57b=52-39$$

-57bకు 182bని కూడండి.

$$125b=52-39$$

-39కు 52ని కూడండి.

$$125b=13$$

రెండు వైపులా 125తో భాగించండి.

$$b=\frac{13}{125}$$

13a+19b=13లో bను \frac{13}{125} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

19 సార్లు \frac{13}{125}ని గుణించండి.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{247}{125}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

రెండు వైపులా 13తో భాగించండి.

$$a=\frac{106}{125}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$