{l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=7$$

$$y=10$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

y-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3=2y-2$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3-2y=-2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$3x-2y=-2+3$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$3x-2y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-1తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

x+5తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4y-4=3x+15$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y-4-3x=15$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$4y-3x=15+4$$

19ని పొందడం కోసం 15 మరియు 4ని కూడండి.

$$4y-3x=19$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-2y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$3x=2y+1$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 2y+1ని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{2y+1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

-3 సార్లు \frac{2y+1}{3}ని గుణించండి.

$$-2y-1+4y=19$$

4yకు -2yని కూడండి.

$$2y-1=19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$2y=20$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=10$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}లో yను 10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{20}{3}కు \frac{1}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=10$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

y-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3=2y-2$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3-2y=-2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$3x-2y=-2+3$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$3x-2y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-1తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

x+5తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4y-4=3x+15$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y-4-3x=15$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$4y-3x=15+4$$

19ని పొందడం కోసం 15 మరియు 4ని కూడండి.

$$4y-3x=19$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=7,y=10$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

y-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3=2y-2$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3-2y=-2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$3x-2y=-2+3$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$3x-2y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-1తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

x+5తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4y-4=3x+15$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y-4-3x=15$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$4y-3x=15+4$$

19ని పొందడం కోసం 15 మరియు 4ని కూడండి.

$$4y-3x=19$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

3x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -9x+12y=57ని -9x+6y=-3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

9xకు -9xని కూడండి. -9x మరియు 9x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y-12y=-3-57$$

-12yకు 6yని కూడండి.

$$-6y=-3-57$$

-57కు -3ని కూడండి.

$$-6y=-60$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$y=10$$

-3x+4y=19లో yను 10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x+4\times 10=19$$

4 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$-3x+40=19$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 40ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x=-21$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=10$$