{l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x+3y+9=-2y$$

రెండు వైపులా 2yని జోడించండి.

$$x+3y+9+2y=0$$

5yని పొందడం కోసం 3y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$x+5y+9=0$$

రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$x+5y=-9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

x-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-xని పొందడం కోసం 2x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$-x+2y=-3y-4$$

రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$-x+2y+3y=-4$$

5yని పొందడం కోసం 2y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-x+5y=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+5y=-9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-5y-9$$

మరొక సమీకరణములో xను -5y-9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

-1 సార్లు -5y-9ని గుణించండి.

$$5y+9+5y=-4$$

5yకు 5yని కూడండి.

$$10y+9=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y=-13$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=-\frac{13}{10}$$

x=-5y-9లో yను -\frac{13}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

-5 సార్లు -\frac{13}{10}ని గుణించండి.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

\frac{13}{2}కు -9ని కూడండి.

$$x=-\frac{5}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x+3y+9=-2y$$

రెండు వైపులా 2yని జోడించండి.

$$x+3y+9+2y=0$$

5yని పొందడం కోసం 3y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$x+5y+9=0$$

రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$x+5y=-9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

x-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-xని పొందడం కోసం 2x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$-x+2y=-3y-4$$

రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$-x+2y+3y=-4$$

5yని పొందడం కోసం 2y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-x+5y=-4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x+3y+9=-2y$$

రెండు వైపులా 2yని జోడించండి.

$$x+3y+9+2y=0$$

5yని పొందడం కోసం 3y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$x+5y+9=0$$

రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$x+5y=-9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

x-yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-xని పొందడం కోసం 2x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$-x+2y=-3y-4$$

రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$-x+2y+3y=-4$$

5yని పొందడం కోసం 2y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-x+5y=-4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -x+5y=-4ని x+5y=-9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

-5yకు 5yని కూడండి. 5y మరియు -5y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$x+x=-9+4$$

xకు xని కూడండి.

$$2x=-9+4$$

4కు -9ని కూడండి.

$$2x=-5$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{5}{2}$$

-x+5y=-4లో xను -\frac{5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

-1 సార్లు -\frac{5}{2}ని గుణించండి.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=-\frac{13}{10}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$