{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 5x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3తో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27ని పొందడం కోసం 21ని -6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-27-14y=2$$

రెండు వైపులా 27ని జోడించండి.

$$15x-14y=2+27$$

29ని పొందడం కోసం 2 మరియు 27ని కూడండి.

$$15x-14y=29$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9xతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-2y-23=12-27x$$

రెండు వైపులా 27xని జోడించండి.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33xని పొందడం కోసం 6x మరియు 27xని జత చేయండి.

$$33x-2y-23=12$$

రెండు వైపులా 23ని జోడించండి.

$$33x-2y=12+23$$

35ని పొందడం కోసం 12 మరియు 23ని కూడండి.

$$33x-2y=35$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$15x-14y=29$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 14yని కూడండి.

$$15x=14y+29$$

రెండు వైపులా 15తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

\frac{1}{15} సార్లు 14y+29ని గుణించండి.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{14y+29}{15} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

33 సార్లు \frac{14y+29}{15}ని గుణించండి.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

-2yకు \frac{154y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{319}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{144}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

\frac{14}{15} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{14}{15}కు \frac{29}{15}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 5x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3తో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27ని పొందడం కోసం 21ని -6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-27-14y=2$$

రెండు వైపులా 27ని జోడించండి.

$$15x-14y=2+27$$

29ని పొందడం కోసం 2 మరియు 27ని కూడండి.

$$15x-14y=29$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9xతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-2y-23=12-27x$$

రెండు వైపులా 27xని జోడించండి.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33xని పొందడం కోసం 6x మరియు 27xని జత చేయండి.

$$33x-2y-23=12$$

రెండు వైపులా 23ని జోడించండి.

$$33x-2y=12+23$$

35ని పొందడం కోసం 12 మరియు 23ని కూడండి.

$$33x-2y=35$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 5x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

2y+3తో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27ని పొందడం కోసం 21ని -6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-27-14y=2$$

రెండు వైపులా 27ని జోడించండి.

$$15x-14y=2+27$$

29ని పొందడం కోసం 2 మరియు 27ని కూడండి.

$$15x-14y=29$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

4-9xతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-2y-23=12-27x$$

రెండు వైపులా 27xని జోడించండి.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33xని పొందడం కోసం 6x మరియు 27xని జత చేయండి.

$$33x-2y-23=12$$

రెండు వైపులా 23ని జోడించండి.

$$33x-2y=12+23$$

35ని పొందడం కోసం 12 మరియు 23ని కూడండి.

$$33x-2y=35$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x మరియు 33xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 33తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 15తో గుణించండి.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 495x-30y=525ని 495x-462y=957 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

-495xకు 495xని కూడండి. 495x మరియు -495x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-462y+30y=957-525$$

30yకు -462yని కూడండి.

$$-432y=957-525$$

-525కు 957ని కూడండి.

$$-432y=432$$

రెండు వైపులా -432తో భాగించండి.

$$y=-1$$

33x-2y=35లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$33x+2=35$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$33x=33$$

రెండు వైపులా 33తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-1$$