{l}{25x+110y=6100}{x+y=50} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$25x+110y=6100$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 110yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x=-110y+6100$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{25} సార్లు -110y+6100ని గుణించండి.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{22y}{5}+244 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=50.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

yకు -\frac{22y}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 244ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{17}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{970}{17}$$

x=-\frac{22}{5}y+244లో yను \frac{970}{17} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{22}{5} సార్లు \frac{970}{17}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

-\frac{4268}{17}కు 244ని కూడండి.

$$x=-\frac{120}{17}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 25తో గుణించండి.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 25x+25y=1250ని 25x+110y=6100 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

-25xకు 25xని కూడండి. 25x మరియు -25x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$110y-25y=6100-1250$$

-25yకు 110yని కూడండి.

$$85y=6100-1250$$

-1250కు 6100ని కూడండి.

$$85y=4850$$

రెండు వైపులా 85తో భాగించండి.

$$y=\frac{970}{17}$$

x+y=50లో yను \frac{970}{17} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{970}{17}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{120}{17}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$