{l}{200x+300y=360}{300x+200y=340} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$200x+300y=360$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 300yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$200x=-300y+360$$

రెండు వైపులా 200తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200} సార్లు -300y+360ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300 సార్లు -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}ని గుణించండి.

$$-450y+540+200y=340$$

200yకు -450yని కూడండి.

$$-250y+540=340$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 540ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-250y=-200$$

రెండు వైపులా -250తో భాగించండి.

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}లో yను \frac{4}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{2} సార్లు \frac{4}{5}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{6}{5}కు \frac{9}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x మరియు 300xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 300తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 200తో గుణించండి.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 60000x+40000y=68000ని 60000x+90000y=108000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

-60000xకు 60000xని కూడండి. 60000x మరియు -60000x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

-40000yకు 90000yని కూడండి.

$$50000y=108000-68000$$

-68000కు 108000ని కూడండి.

$$50000y=40000$$

రెండు వైపులా 50000తో భాగించండి.

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340లో yను \frac{4}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200 సార్లు \frac{4}{5}ని గుణించండి.

$$300x+160=340$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 160ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$300x=180$$

రెండు వైపులా 300తో భాగించండి.

$$x=\frac{3}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$