{l}{20+x+y=115}{11x=8y} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=40$$

$$y=55$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+y=115-20$$

95ని పొందడం కోసం 20ని 115 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+y=95$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x-8y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=95$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+95$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+95 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

11 సార్లు -y+95ని గుణించండి.

$$-11y+1045-8y=0$$

-8yకు -11yని కూడండి.

$$-19y+1045=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1045ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-19y=-1045$$

రెండు వైపులా -19తో భాగించండి.

$$y=55$$

x=-y+95లో yను 55 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-55+95$$

-55కు 95ని కూడండి.

$$x=40$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=40,y=55$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+y=115-20$$

95ని పొందడం కోసం 20ని 115 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+y=95$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x-8y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=40,y=55$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+y=115-20$$

95ని పొందడం కోసం 20ని 115 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+y=95$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x-8y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x మరియు 11xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 11తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 11x-8y=0ని 11x+11y=1045 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

-11xకు 11xని కూడండి. 11x మరియు -11x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$11y+8y=1045$$

8yకు 11yని కూడండి.

$$19y=1045$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$y=55$$

11x-8y=0లో yను 55 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$11x-8\times 55=0$$

-8 సార్లు 55ని గుణించండి.

$$11x-440=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 440ని కూడండి.

$$11x=440$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$x=40$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=40,y=55$$