{l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-y-4x=-3$$

-2xని పొందడం కోసం 2x మరియు -4xని జత చేయండి.

$$-2x-y=-3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-2x-y=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$-2x=y-3$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

-\frac{1}{2} సార్లు y-3ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+3}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

yకు -\frac{y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

1కు \frac{3}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{5}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-y-4x=-3$$

-2xని పొందడం కోసం 2x మరియు -4xని జత చేయండి.

$$-2x-y=-3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-y-4x=-3$$

-2xని పొందడం కోసం 2x మరియు -4xని జత చేయండి.

$$-2x-y=-3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x-2y=-1ని -2x-y=-3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

2xకు -2xని కూడండి. -2x మరియు 2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-y+2y=-3+1$$

2yకు -yని కూడండి.

$$y=-3+1$$

1కు -3ని కూడండి.

$$y=-2$$

x+y=\frac{1}{2}లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$x=\frac{5}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$