{l}{2x-3y=5}{5-x+2y=16} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 5 - x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=43$$

$$y=27$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-3y=5,-x+2y+5=16$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-3y=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$2x=3y+5$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 3y+5ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y+5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -x+2y+5=16.

$$-\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y+5=16$$

-1 సార్లు \frac{3y+5}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}+2y+5=16$$

2yకు -\frac{3y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+5=16$$

5కు -\frac{5}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}y=\frac{27}{2}$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y=27$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}లో yను 27 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{2}\times 27+\frac{5}{2}$$

\frac{3}{2} సార్లు 27ని గుణించండి.

$$x=\frac{81+5}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{81}{2}కు \frac{5}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=43$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=43,y=27$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-3y=5,-x+2y+5=16$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5+3\times 11\\5+2\times 11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\27\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=43,y=27$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-3y=5,-x+2y+5=16$$

2x మరియు -xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-2x-\left(-3y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 5=2\times 16$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2x+3y=-5,-2x+4y+10=32$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x+4y+10=32ని -2x+3y=-5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x+2x+3y-4y-10=-5-32$$

2xకు -2xని కూడండి. -2x మరియు 2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3y-4y-10=-5-32$$

-4yకు 3yని కూడండి.

$$-y-10=-5-32$$

-32కు -5ని కూడండి.

$$-y-10=-37$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 10ని కూడండి.

$$-y=-27$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=27$$

-x+2y+5=16లో yను 27 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-x+2\times 27+5=16$$

2 సార్లు 27ని గుణించండి.

$$-x+54+5=16$$

5కు 54ని కూడండి.

$$-x+59=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 59ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x=-43$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=43$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=43,y=27$$