{l}{2x-3-2y=-57}{2x-3+2y=-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 - 2 y = - 57 } \\ { 2 x - 3 + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-13$$

$$y=14$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-2y-3=-57,2x+2y-3=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-2y-3=-57$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$2x-2y=-54$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$2x=2y-54$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y-54\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -54+2yని గుణించండి.

$$x=y-27$$

మరొక సమీకరణములో xను y-27 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+2y-3=-1.

$$2\left(y-27\right)+2y-3=-1$$

2 సార్లు y-27ని గుణించండి.

$$2y-54+2y-3=-1$$

2yకు 2yని కూడండి.

$$4y-54-3=-1$$

-3కు -54ని కూడండి.

$$4y-57=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 57ని కూడండి.

$$4y=56$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y=14$$

x=y-27లో yను 14 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=14-27$$

14కు -27ని కూడండి.

$$x=-13$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-13,y=14$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-2y-3=-57,2x+2y-3=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-54\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-54\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-54\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-54\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-54\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-54\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-54\right)+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\left(-54\right)+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\14\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-13,y=14$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-2y-3=-57,2x+2y-3=-1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+2y-3=-1ని 2x-2y-3=-57 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x-2y-2y-3+3=-57+1$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-2y-2y-3+3=-57+1$$

-2yకు -2yని కూడండి.

$$-4y-3+3=-57+1$$

3కు -3ని కూడండి.

$$-4y=-57+1$$

1కు -57ని కూడండి.

$$-4y=-56$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=14$$

2x+2y-3=-1లో yను 14 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+2\times 14-3=-1$$

2 సార్లు 14ని గుణించండి.

$$2x+28-3=-1$$

-3కు 28ని కూడండి.

$$2x+25=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-26$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-13$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-13,y=14$$