{l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-15=3y+6$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-15-3y=6$$

రెండు వైపులా 15ని జోడించండి.

$$2x-3y=6+15$$

21ని పొందడం కోసం 6 మరియు 15ని కూడండి.

$$2x-3y=21$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-4తో 7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x-28=-1-5y$$

రెండు వైపులా 5yని జోడించండి.

$$7x-28+5y=-1$$

రెండు వైపులా 28ని జోడించండి.

$$7x+5y=-1+28$$

27ని పొందడం కోసం -1 మరియు 28ని కూడండి.

$$7x+5y=27$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-3y=21$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$2x=3y+21$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 21+3yని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{21+3y}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

7 సార్లు \frac{21+3y}{2}ని గుణించండి.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

5yకు \frac{21y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{147}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{31}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

\frac{3}{2} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{9}{2}కు \frac{21}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-15=3y+6$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-15-3y=6$$

రెండు వైపులా 15ని జోడించండి.

$$2x-3y=6+15$$

21ని పొందడం కోసం 6 మరియు 15ని కూడండి.

$$2x-3y=21$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-4తో 7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x-28=-1-5y$$

రెండు వైపులా 5yని జోడించండి.

$$7x-28+5y=-1$$

రెండు వైపులా 28ని జోడించండి.

$$7x+5y=-1+28$$

27ని పొందడం కోసం -1 మరియు 28ని కూడండి.

$$7x+5y=27$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=6,y=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-15=3y+6$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-15-3y=6$$

రెండు వైపులా 15ని జోడించండి.

$$2x-3y=6+15$$

21ని పొందడం కోసం 6 మరియు 15ని కూడండి.

$$2x-3y=21$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-4తో 7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x-28=-1-5y$$

రెండు వైపులా 5yని జోడించండి.

$$7x-28+5y=-1$$

రెండు వైపులా 28ని జోడించండి.

$$7x+5y=-1+28$$

27ని పొందడం కోసం -1 మరియు 28ని కూడండి.

$$7x+5y=27$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x మరియు 7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 14x+10y=54ని 14x-21y=147 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

-14xకు 14xని కూడండి. 14x మరియు -14x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-21y-10y=147-54$$

-10yకు -21yని కూడండి.

$$-31y=147-54$$

-54కు 147ని కూడండి.

$$-31y=93$$

రెండు వైపులా -31తో భాగించండి.

$$y=-3$$

7x+5y=27లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

5 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$7x-15=27$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$7x=42$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=-3$$