{l}{2x-10y=6}{x-2y=0} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 10 y = 6 } \\ { x - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-2$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-10y=6,x-2y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-10y=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 10yని కూడండి.

$$2x=10y+6$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(10y+6\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 10y+6ని గుణించండి.

$$x=5y+3$$

మరొక సమీకరణములో xను 5y+3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-2y=0.

$$5y+3-2y=0$$

-2yకు 5yని కూడండి.

$$3y+3=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y=-3$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=-1$$

x=5y+3లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=5\left(-1\right)+3$$

5 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=-5+3$$

-5కు 3ని కూడండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-10y=6,x-2y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-10\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-10\\1&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-10\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-10\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-10\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-10\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-10\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-10\right)}&-\frac{-10}{2\left(-2\right)-\left(-10\right)}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-\left(-10\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{6}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-2,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-10y=6,x-2y=0$$

2x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2x-10y=6,2x+2\left(-2\right)y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x-10y=6,2x-4y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x-4y=0ని 2x-10y=6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x-10y+4y=6$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-10y+4y=6$$

4yకు -10yని కూడండి.

$$-6y=6$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$y=-1$$

x-2y=0లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-2\left(-1\right)=0$$

-2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x+2=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=-1$$