{l}{2x+y=k}{5x+2y=1-k} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = k } \\ { 5 x + 2 y = 1 - k } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1-3k$$

$$y=7k-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+y=k$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-y+k$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+k\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -y+kని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+k}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+2y=1-k.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}\right)+2y=1-k$$

5 సార్లు \frac{-y+k}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5k}{2}+2y=1-k$$

2yకు -\frac{5y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5k}{2}=1-k$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5k}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7k}{2}+1$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$y=7k-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}లో yను -2+7k స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\left(7k-2\right)+\frac{k}{2}$$

-\frac{1}{2} సార్లు -2+7kని గుణించండి.

$$x=-\frac{7k}{2}+1+\frac{k}{2}$$

1-\frac{7k}{2}కు \frac{k}{2}ని కూడండి.

$$x=1-3k$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2k+1-k\\5k-2\left(1-k\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3k\\7k-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

2x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$5\times 2x+5y=5k,2\times 5x+2\times 2y=2\left(1-k\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x+5y=5k,10x+4y=2-2k$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+4y=2-2kని 10x+5y=5k నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x+5y-4y=5k+2k-2$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$5y-4y=5k+2k-2$$

-4yకు 5yని కూడండి.

$$y=5k+2k-2$$

-2+2kకు 5kని కూడండి.

$$y=7k-2$$

5x+2y=1-kలో yను -2+7k స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+2\left(7k-2\right)=1-k$$

2 సార్లు -2+7kని గుణించండి.

$$5x+14k-4=1-k$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -4+14kని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=5-15k$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=1-3k$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1-3k,y=7k-2$$