{l}{2x+y=4}{x+1/4y=-4} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { x + \frac { 1 } { 4 } y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-10$$

$$y=24$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+y=4,x+\frac{1}{4}y=-4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+y=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-y+4$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -y+4ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{2}+2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+\frac{1}{4}y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+2+\frac{1}{4}y=-4$$

\frac{y}{4}కు -\frac{y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{4}y+2=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{4}y=-6$$

రెండు వైపులా -4తో గుణించండి.

$$y=24$$

x=-\frac{1}{2}y+2లో yను 24 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\times 24+2$$

-\frac{1}{2} సార్లు 24ని గుణించండి.

$$x=-12+2$$

-12కు 2ని కూడండి.

$$x=-10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-10,y=24$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+y=4,x+\frac{1}{4}y=-4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{2\times \frac{1}{4}-1}&-\frac{1}{2\times \frac{1}{4}-1}\\-\frac{1}{2\times \frac{1}{4}-1}&\frac{2}{2\times \frac{1}{4}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+2\left(-4\right)\\2\times 4-4\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\24\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-10,y=24$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+y=4,x+\frac{1}{4}y=-4$$

2x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2x+y=4,2x+2\times \frac{1}{4}y=2\left(-4\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x+y=4,2x+\frac{1}{2}y=-8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+\frac{1}{2}y=-8ని 2x+y=4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x+y-\frac{1}{2}y=4+8$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$y-\frac{1}{2}y=4+8$$

-\frac{y}{2}కు yని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y=4+8$$

8కు 4ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y=12$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y=24$$

x+\frac{1}{4}y=-4లో yను 24 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{1}{4}\times 24=-4$$

\frac{1}{4} సార్లు 24ని గుణించండి.

$$x+6=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-10,y=24$$