{l}{2x+9y=19}{4x+my=53} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+9y=19$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-9y+19$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -9y+19ని గుణించండి.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-9y+19}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

4 సార్లు \frac{-9y+19}{2}ని గుణించండి.

$$-18y+38+my=53$$

myకు -18yని కూడండి.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 38ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(m-18\right)y=15$$

రెండు వైపులా -18+mతో భాగించండి.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}లో yను \frac{15}{-18+m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

-\frac{9}{2} సార్లు \frac{15}{-18+m}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

-\frac{135}{2\left(-18+m\right)}కు \frac{19}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x+2my=106ని 8x+36y=76 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-2myకు 36yని కూడండి.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

-106కు 76ని కూడండి.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

రెండు వైపులా 36-2mతో భాగించండి.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53లో yను -\frac{15}{18-m} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

m సార్లు -\frac{15}{18-m}ని గుణించండి.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{15m}{18-m}ని కూడండి.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$