{l}{2x+5y=-11}{2ax-5by=41} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 11 } \\ { 2 a x - 5 b y = 41 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{11b-41}{2\left(a+b\right)}\text{, }y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\text{, }&a\neq -b\\x=\frac{-5y-11}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=-\frac{41}{11}\text{ and }b=\frac{41}{11}\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+5y=-11,2ax+\left(-5b\right)y=41$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+5y=-11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-5y-11$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-11\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -5y-11ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5y-11}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2ax+\left(-5b\right)y=41.

$$2a\left(-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}\right)+\left(-5b\right)y=41$$

2a సార్లు \frac{-5y-11}{2}ని గుణించండి.

$$\left(-5a\right)y-11a+\left(-5b\right)y=41$$

-5byకు -5ayని కూడండి.

$$\left(-5a-5b\right)y-11a=41$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 11aని కూడండి.

$$\left(-5a-5b\right)y=11a+41$$

రెండు వైపులా -5a-5bతో భాగించండి.

$$y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}లో yను -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\right)-\frac{11}{2}$$

-\frac{5}{2} సార్లు -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)}ని గుణించండి.

$$x=\frac{11a+41}{2\left(a+b\right)}-\frac{11}{2}$$

\frac{41+11a}{2\left(a+b\right)}కు -\frac{11}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)},y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+5y=-11,2ax+\left(-5b\right)y=41$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5b}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}&-\frac{5}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}\\-\frac{2a}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}&\frac{2}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{2\left(a+b\right)}&\frac{1}{2\left(a+b\right)}\\\frac{a}{5\left(a+b\right)}&-\frac{1}{5\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{2\left(a+b\right)}\left(-11\right)+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\times 41\\\frac{a}{5\left(a+b\right)}\left(-11\right)+\left(-\frac{1}{5\left(a+b\right)}\right)\times 41\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)}\\-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)},y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+5y=-11,2ax+\left(-5b\right)y=41$$

2x మరియు 2axని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2aతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2a\times 2x+2a\times 5y=2a\left(-11\right),2\times 2ax+2\left(-5b\right)y=2\times 41$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4ax+10ay=-22a,4ax+\left(-10b\right)y=82$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4ax+\left(-10b\right)y=82ని 4ax+10ay=-22a నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4ax+\left(-4a\right)x+10ay+10by=-22a-82$$

-4axకు 4axని కూడండి. 4ax మరియు -4ax విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10ay+10by=-22a-82$$

10byకు 10ayని కూడండి.

$$\left(10a+10b\right)y=-22a-82$$

రెండు వైపులా 10a+10bతో భాగించండి.

$$y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

2ax+\left(-5b\right)y=41లో yను -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2ax+\left(-5b\right)\left(-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\right)=41$$

-5b సార్లు -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)}ని గుణించండి.

$$2ax+\frac{b\left(11a+41\right)}{a+b}=41$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{b\left(41+11a\right)}{a+b}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2ax=\frac{a\left(41-11b\right)}{a+b}$$

రెండు వైపులా 2aతో భాగించండి.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)},y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{11b-41}{2\left(a+b\right)}\text{, }y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\text{, }&a\neq -b\\x=\frac{-5y-11}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=-\frac{41}{11}\text{ and }b=\frac{41}{11}\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+5y=-11,2ax+\left(-5b\right)y=41$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+5y=-11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-5y-11$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-11\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -5y-11ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5y-11}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2ax+\left(-5b\right)y=41.

$$2a\left(-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}\right)+\left(-5b\right)y=41$$

2a సార్లు \frac{-5y-11}{2}ని గుణించండి.

$$\left(-5a\right)y-11a+\left(-5b\right)y=41$$

-5byకు -5ayని కూడండి.

$$\left(-5a-5b\right)y-11a=41$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 11aని కూడండి.

$$\left(-5a-5b\right)y=11a+41$$

రెండు వైపులా -5a-5bతో భాగించండి.

$$y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}లో yను -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\right)-\frac{11}{2}$$

-\frac{5}{2} సార్లు -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)}ని గుణించండి.

$$x=\frac{11a+41}{2\left(a+b\right)}-\frac{11}{2}$$

\frac{41+11a}{2\left(a+b\right)}కు -\frac{11}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)},y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+5y=-11,2ax+\left(-5b\right)y=41$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2a&-5b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5b}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}&-\frac{5}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}\\-\frac{2a}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}&\frac{2}{2\left(-5b\right)-5\times 2a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{2\left(a+b\right)}&\frac{1}{2\left(a+b\right)}\\\frac{a}{5\left(a+b\right)}&-\frac{1}{5\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\41\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{2\left(a+b\right)}\left(-11\right)+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\times 41\\\frac{a}{5\left(a+b\right)}\left(-11\right)+\left(-\frac{1}{5\left(a+b\right)}\right)\times 41\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)}\\-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)},y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+5y=-11,2ax+\left(-5b\right)y=41$$

2x మరియు 2axని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2aతో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2a\times 2x+2a\times 5y=2a\left(-11\right),2\times 2ax+2\left(-5b\right)y=2\times 41$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4ax+10ay=-22a,4ax+\left(-10b\right)y=82$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4ax+\left(-10b\right)y=82ని 4ax+10ay=-22a నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4ax+\left(-4a\right)x+10ay+10by=-22a-82$$

-4axకు 4axని కూడండి. 4ax మరియు -4ax విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10ay+10by=-22a-82$$

10byకు 10ayని కూడండి.

$$\left(10a+10b\right)y=-22a-82$$

రెండు వైపులా 10a+10bతో భాగించండి.

$$y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$

2ax+\left(-5b\right)y=41లో yను -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2ax+\left(-5b\right)\left(-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}\right)=41$$

-5b సార్లు -\frac{41+11a}{5\left(a+b\right)}ని గుణించండి.

$$2ax+\frac{b\left(11a+41\right)}{a+b}=41$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{b\left(41+11a\right)}{a+b}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2ax=\frac{a\left(41-11b\right)}{a+b}$$

రెండు వైపులా 2aతో భాగించండి.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{41-11b}{2\left(a+b\right)},y=-\frac{11a+41}{5\left(a+b\right)}$$