{l}{2x+5y=-11}{-2x-3y=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 11 } \\ { - 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=7$$

$$y=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+5y=-11,-2x-3y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+5y=-11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-5y-11$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-11\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -5y-11ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5y-11}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x-3y=1.

$$-2\left(-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=1$$

-2 సార్లు \frac{-5y-11}{2}ని గుణించండి.

$$5y+11-3y=1$$

-3yకు 5yని కూడండి.

$$2y+11=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y=-10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=-5$$

x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}లో yను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-5\right)-\frac{11}{2}$$

-\frac{5}{2} సార్లు -5ని గుణించండి.

$$x=\frac{25-11}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{25}{2}కు -\frac{11}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=-5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+5y=-11,-2x-3y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-3\right)-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&-\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-11\right)-\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=7,y=-5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+5y=-11,-2x-3y=1$$

2x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2\left(-11\right),2\left(-2\right)x+2\left(-3\right)y=2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-4x-10y=22,-4x-6y=2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -4x-6y=2ని -4x-10y=22 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x+4x-10y+6y=22-2$$

4xకు -4xని కూడండి. -4x మరియు 4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-10y+6y=22-2$$

6yకు -10yని కూడండి.

$$-4y=22-2$$

-2కు 22ని కూడండి.

$$-4y=20$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=-5$$

-2x-3y=1లో yను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x-3\left(-5\right)=1$$

-3 సార్లు -5ని గుణించండి.

$$-2x+15=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-14$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=-5$$