{l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+4y=2060$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-4y+2060$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -4y+2060ని గుణించండి.

$$x=-2y+1030$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+1030 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

5 సార్లు -2y+1030ని గుణించండి.

$$-10y+5150+7y=1640$$

7yకు -10yని కూడండి.

$$-3y+5150=1640$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5150ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3y=-3510$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=1170$$

x=-2y+1030లో yను 1170 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\times 1170+1030$$

-2 సార్లు 1170ని గుణించండి.

$$x=-2340+1030$$

-2340కు 1030ని కూడండి.

$$x=-1310$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1310,y=1170$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-1310,y=1170$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

2x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+14y=3280ని 10x+20y=10300 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$20y-14y=10300-3280$$

-14yకు 20yని కూడండి.

$$6y=10300-3280$$

-3280కు 10300ని కూడండి.

$$6y=7020$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$y=1170$$

5x+7y=1640లో yను 1170 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x+7\times 1170=1640$$

7 సార్లు 1170ని గుణించండి.

$$5x+8190=1640$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8190ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-6550$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=-1310$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1310,y=1170$$