{l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2ax+by=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి byని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

రెండు వైపులా 2aతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} సార్లు -by+14ని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-by+14}{2a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 సార్లు \frac{-by+14}{2a}ని గుణించండి.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9yకు \frac{by}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{14}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

రెండు వైపులా 9+\frac{b}{a}తో భాగించండి.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}లో yను \frac{14-19a}{9a+b} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} సార్లు \frac{14-19a}{9a+b}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}కు \frac{7}{a}ని కూడండి.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2aతో గుణించండి.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \left(-4a\right)x+18ay=-38aని \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4axకు -4axని కూడండి. -4ax మరియు 4ax విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ayకు -2byని కూడండి.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38aకు -28ని కూడండి.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

రెండు వైపులా -2b-18aతో భాగించండి.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19లో yను -\frac{-14+19a}{b+9a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 సార్లు -\frac{-14+19a}{b+9a}ని గుణించండి.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}ని కూడండి.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2ax+by=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి byని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

రెండు వైపులా 2aతో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} సార్లు -by+14ని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-by+14}{2a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 సార్లు \frac{-by+14}{2a}ని గుణించండి.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9yకు \frac{by}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{14}{a}ని కూడండి.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

రెండు వైపులా 9+\frac{b}{a}తో భాగించండి.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}లో yను \frac{14-19a}{9a+b} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} సార్లు \frac{14-19a}{9a+b}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}కు \frac{7}{a}ని కూడండి.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2aతో గుణించండి.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \left(-4a\right)x+18ay=-38aని \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4axకు -4axని కూడండి. -4ax మరియు 4ax విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ayకు -2byని కూడండి.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38aకు -28ని కూడండి.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

రెండు వైపులా -2b-18aతో భాగించండి.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19లో yను -\frac{-14+19a}{b+9a} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 సార్లు -\frac{-14+19a}{b+9a}ని గుణించండి.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}ని కూడండి.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$