{l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 6x+3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2-y=12x+6+y$$

రెండు భాగాల నుండి 12xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2-y-12x=6+y$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2-y-12x-y=6$$

-2yని పొందడం కోసం -y మరియు -yని జత చేయండి.

$$2-2y-12x=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y-12x=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y-12x=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+4-3y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$x-3y=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$-2y-12x=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12xని కూడండి.

$$-2y=12x+4$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

-\frac{1}{2} సార్లు 12x+4ని గుణించండి.

$$y=-6x-2$$

మరొక సమీకరణములో yను -6x-2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3y+x=-4.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

-3 సార్లు -6x-2ని గుణించండి.

$$18x+6+x=-4$$

xకు 18xని కూడండి.

$$19x+6=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$19x=-10$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$x=-\frac{10}{19}$$

y=-6x-2లో xను -\frac{10}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

-6 సార్లు -\frac{10}{19}ని గుణించండి.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

\frac{60}{19}కు -2ని కూడండి.

$$y=\frac{22}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 6x+3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2-y=12x+6+y$$

రెండు భాగాల నుండి 12xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2-y-12x=6+y$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2-y-12x-y=6$$

-2yని పొందడం కోసం -y మరియు -yని జత చేయండి.

$$2-2y-12x=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y-12x=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y-12x=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+4-3y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$x-3y=-4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 6x+3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2-y=12x+6+y$$

రెండు భాగాల నుండి 12xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2-y-12x=6+y$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2-y-12x-y=6$$

-2yని పొందడం కోసం -y మరియు -yని జత చేయండి.

$$2-2y-12x=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y-12x=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y-12x=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+4-3y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$x-3y=-4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

-2y మరియు -3yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6y-2x=8ని 6y+36x=-12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

-6yకు 6yని కూడండి. 6y మరియు -6y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$36x+2x=-12-8$$

2xకు 36xని కూడండి.

$$38x=-12-8$$

-8కు -12ని కూడండి.

$$38x=-20$$

రెండు వైపులా 38తో భాగించండి.

$$x=-\frac{10}{19}$$

-3y+x=-4లో xను -\frac{10}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{10}{19}ని కూడండి.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=\frac{22}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$