{l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

y+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+6=3y+3+1$$

4ని పొందడం కోసం 3 మరియు 1ని కూడండి.

$$2x+6=3y+4$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+6-3y=4$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=4-6$$

-2ని పొందడం కోసం 6ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-y-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

x-2తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3y-3=2x-4$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x-3y-3=-4$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$x-3y=-4+3$$

-1ని పొందడం కోసం -4 మరియు 3ని కూడండి.

$$x-3y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-3y=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$2x=3y-2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 3y-2ని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y}{2}-1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-3y=-1.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

-3yకు \frac{3y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{3}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=0$$

x=\frac{3}{2}y-1లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=0$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

y+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+6=3y+3+1$$

4ని పొందడం కోసం 3 మరియు 1ని కూడండి.

$$2x+6=3y+4$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+6-3y=4$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=4-6$$

-2ని పొందడం కోసం 6ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-y-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

x-2తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3y-3=2x-4$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x-3y-3=-4$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$x-3y=-4+3$$

-1ని పొందడం కోసం -4 మరియు 3ని కూడండి.

$$x-3y=-1$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-1,y=0$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

y+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+6=3y+3+1$$

4ని పొందడం కోసం 3 మరియు 1ని కూడండి.

$$2x+6=3y+4$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+6-3y=4$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=4-6$$

-2ని పొందడం కోసం 6ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-3y=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-y-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

x-2తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-3y-3=2x-4$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x-3y-3=-4$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$x-3y=-4+3$$

-1ని పొందడం కోసం -4 మరియు 3ని కూడండి.

$$x-3y=-1$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x-3y=-1ని 2x-3y=-2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

3yకు -3yని కూడండి. -3y మరియు 3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2x-x=-2+1$$

-xకు 2xని కూడండి.

$$x=-2+1$$

1కు -2ని కూడండి.

$$x=-1$$

x-3y=-1లో xను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-1-3y=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$-3y=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=0$$