{l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-4తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-8+3y=31$$

రెండు వైపులా 8ని జోడించండి.

$$6x+3y=31+8$$

39ని పొందడం కోసం 31 మరియు 8ని కూడండి.

$$6x+3y=39$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,5.

$$5x-2y=50$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x+3y=39$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-3y+39$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -3y+39ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+13}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-2y=50.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

5 సార్లు \frac{-y+13}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

-2yకు -\frac{5y}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{65}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{9}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{35}{9}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}లో yను -\frac{35}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{2} సార్లు -\frac{35}{9}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{35}{18}కు \frac{13}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{76}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-4తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-8+3y=31$$

రెండు వైపులా 8ని జోడించండి.

$$6x+3y=31+8$$

39ని పొందడం కోసం 31 మరియు 8ని కూడండి.

$$6x+3y=39$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,5.

$$5x-2y=50$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-4తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-8+3y=31$$

రెండు వైపులా 8ని జోడించండి.

$$6x+3y=31+8$$

39ని పొందడం కోసం 31 మరియు 8ని కూడండి.

$$6x+3y=39$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,5.

$$5x-2y=50$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 30x-12y=300ని 30x+15y=195 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

-30xకు 30xని కూడండి. 30x మరియు -30x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$15y+12y=195-300$$

12yకు 15yని కూడండి.

$$27y=195-300$$

-300కు 195ని కూడండి.

$$27y=-105$$

రెండు వైపులా 27తో భాగించండి.

$$y=-\frac{35}{9}$$

5x-2y=50లో yను -\frac{35}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

-2 సార్లు -\frac{35}{9}ని గుణించండి.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{70}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=\frac{380}{9}$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{76}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$