{l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2 సార్లు 2x-3ని గుణించండి.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

3 సార్లు y+4ని గుణించండి.

$$4x-6+3y+12=7$$

12కు -6ని కూడండి.

$$4x+3y+6=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+3y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-3y+1$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -3y+1ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-3y+1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

2కు \frac{1}{4}ని కూడండి.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

4 సార్లు \frac{-3y+9}{4}ని గుణించండి.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

-5 సార్లు -y+2ని గుణించండి.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

5yకు -3yని కూడండి.

$$2y+9-10=-3$$

-10కు 9ని కూడండి.

$$2y-1=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$2y=-2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

-\frac{3}{4} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{3}{4}కు \frac{1}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచడం కోసం మొదటి సమీకరణమును సరళీకృతం చేయండి.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2 సార్లు 2x-3ని గుణించండి.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

3 సార్లు y+4ని గుణించండి.

$$4x-6+3y+12=7$$

12కు -6ని కూడండి.

$$4x+3y+6=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+3y=1$$

ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచడం కోసం రెండవ సమీకరణమును సరళీకృతం చేయండి.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

4 సార్లు x+2ని గుణించండి.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

-5 సార్లు -y+2ని గుణించండి.

$$4x+8+5y-10=-3$$

-10కు 8ని కూడండి.

$$4x+5y-2=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$4x+5y=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-1$$