{l}{16m+50n=55}{2m+4n=5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

m, nని పరిష్కరించండి

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న mని వేరు చేయడం ద్వారా mని పరిష్కరించండి.

$$16m+50n=55$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 50nని వ్యవకలనం చేయండి.

$$16m=-50n+55$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

\frac{1}{16} సార్లు -50n+55ని గుణించండి.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

మరొక సమీకరణములో mను -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

2 సార్లు -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}ని గుణించండి.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

4nకు -\frac{25n}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{55}{8}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{9}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$n=\frac{5}{6}$$

m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}లో nను \frac{5}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{25}{8} సార్లు \frac{5}{6}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{125}{48}కు \frac{55}{16}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=\frac{5}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

m మరియు n మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

16m మరియు 2mని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 16తో గుణించండి.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 32m+64n=80ని 32m+100n=110 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

-32mకు 32mని కూడండి. 32m మరియు -32m విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$100n-64n=110-80$$

-64nకు 100nని కూడండి.

$$36n=110-80$$

-80కు 110ని కూడండి.

$$36n=30$$

రెండు వైపులా 36తో భాగించండి.

$$n=\frac{5}{6}$$

2m+4n=5లో nను \frac{5}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

4 సార్లు \frac{5}{6}ని గుణించండి.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{10}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2m=\frac{5}{3}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$m=\frac{5}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$