{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$11x+19y=25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 19yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x=-19y+25$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11} సార్లు -19y+25ని గుణించండి.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-19y+25}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19 సార్లు \frac{-19y+25}{11}ని గుణించండి.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

11yకు -\frac{361y}{11}ని కూడండి.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{475}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{240}{11}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}లో yను \frac{31}{24} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{19}{11} సార్లు \frac{31}{24}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{589}{264}కు \frac{25}{11}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{24}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x మరియు 19xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 19తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 11తో గుణించండి.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 209x+121y=165ని 209x+361y=475 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

-209xకు 209xని కూడండి. 209x మరియు -209x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$361y-121y=475-165$$

-121yకు 361yని కూడండి.

$$240y=475-165$$

-165కు 475ని కూడండి.

$$240y=310$$

రెండు వైపులా 240తో భాగించండి.

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15లో yను \frac{31}{24} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11 సార్లు \frac{31}{24}ని గుణించండి.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{341}{24}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$19x=\frac{19}{24}$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{24}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$