{l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=7$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+y-6y=5$$

-5yని పొందడం కోసం y మరియు -6yని జత చేయండి.

$$10x-5y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 10xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9xని పొందడం కోసం x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$10y-9x=y+27$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y-9x-y=27$$

9yని పొందడం కోసం 10y మరియు -yని జత చేయండి.

$$9y-9x=27$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$10x-5y=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$10x=5y+5$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

\frac{1}{10} సార్లు 5+5yని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{1+y}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

-9 సార్లు \frac{1+y}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

9yకు -\frac{9y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{2}ని కూడండి.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=7$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}లో yను 7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{7}{2}కు \frac{1}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=7$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+y-6y=5$$

-5yని పొందడం కోసం y మరియు -6yని జత చేయండి.

$$10x-5y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 10xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9xని పొందడం కోసం x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$10y-9x=y+27$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y-9x-y=27$$

9yని పొందడం కోసం 10y మరియు -yని జత చేయండి.

$$9y-9x=27$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=7$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+y-6y=5$$

-5yని పొందడం కోసం y మరియు -6yని జత చేయండి.

$$10x-5y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 10xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9xని పొందడం కోసం x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$10y-9x=y+27$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y-9x-y=27$$

9yని పొందడం కోసం 10y మరియు -yని జత చేయండి.

$$9y-9x=27$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x మరియు -9xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 10తో గుణించండి.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -90x+90y=270ని -90x+45y=-45 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

90xకు -90xని కూడండి. -90x మరియు 90x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$45y-90y=-45-270$$

-90yకు 45yని కూడండి.

$$-45y=-45-270$$

-270కు -45ని కూడండి.

$$-45y=-315$$

రెండు వైపులా -45తో భాగించండి.

$$y=7$$

-9x+9y=27లో yను 7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-9x+9\times 7=27$$

9 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$-9x+63=27$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 63ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x=-36$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=7$$