{l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.9x-0.2y=19$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$0.3x-0.5y=29$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{y}{2}ని కూడండి.

$$0.3x=0.5y+29$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.3తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

\frac{10}{3} సార్లు \frac{y}{2}+29ని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5y+290}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

0.9 సార్లు \frac{5y+290}{3}ని గుణించండి.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

-\frac{y}{5}కు \frac{3y}{2}ని కూడండి.

$$1.3y+87=19$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 87ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$1.3y=-68$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 1.3తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{680}{13}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}లో yను -\frac{680}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{5}{3} సార్లు -\frac{680}{13}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{3400}{39}కు \frac{290}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{370}{39}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.9x-0.2y=19$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 0.2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.9x-0.2y=19$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

\frac{3x}{10} మరియు \frac{9x}{10}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 0.9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.3తో గుణించండి.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.27x-0.06y=5.7ని 0.27x-0.45y=26.1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

-\frac{27x}{100}కు \frac{27x}{100}ని కూడండి. \frac{27x}{100} మరియు -\frac{27x}{100} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

\frac{3y}{50}కు -\frac{9y}{20}ని కూడండి.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -5.7కు 26.1ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$-0.39y=20.4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -0.39తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{680}{13}$$

0.9x-0.2y=19లో yను -\frac{680}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -0.2 సార్లు -\frac{680}{13}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{136}{13}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.9తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{370}{39}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$