{l}{0.3x+y=4.8}{x-y=11} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + y = 4.8 } \\ { x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{158}{13} = 12\frac{2}{13} \approx 12.153846154$$

$$y = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$0.3x+y=4.8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.3x=-y+4.8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.3తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{10}{3}\left(-y+4.8\right)$$

\frac{10}{3} సార్లు -y+4.8ని గుణించండి.

$$x=-\frac{10}{3}y+16$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{10y}{3}+16 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-y=11.

$$-\frac{10}{3}y+16-y=11$$

-yకు -\frac{10y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{13}{3}y+16=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{13}{3}y=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{13}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{15}{13}$$

x=-\frac{10}{3}y+16లో yను \frac{15}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{15}{13}+16$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{10}{3} సార్లు \frac{15}{13}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{50}{13}+16$$

-\frac{50}{13}కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{158}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&\frac{0.3}{0.3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{10}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}\times 4.8+\frac{10}{13}\times 11\\\frac{10}{13}\times 4.8-\frac{3}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{158}{13}\\\frac{15}{13}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

\frac{3x}{10} మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.3తో గుణించండి.

$$0.3x+y=4.8,0.3x+0.3\left(-1\right)y=0.3\times 11$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.3x+y=4.8,0.3x-0.3y=3.3$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.3x-0.3y=3.3ని 0.3x+y=4.8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.3x-0.3x+y+0.3y=4.8-3.3$$

-\frac{3x}{10}కు \frac{3x}{10}ని కూడండి. \frac{3x}{10} మరియు -\frac{3x}{10} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$y+0.3y=4.8-3.3$$

\frac{3y}{10}కు yని కూడండి.

$$1.3y=4.8-3.3$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -3.3కు 4.8ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$1.3y=1.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 1.3తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{15}{13}$$

x-y=11లో yను \frac{15}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-\frac{15}{13}=11$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{15}{13}ని కూడండి.

$$x=\frac{158}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$