{l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

r, tని పరిష్కరించండి

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న rని వేరు చేయడం ద్వారా rని పరిష్కరించండి.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{t}{50}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.07తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

\frac{100}{7} సార్లు -\frac{t}{50}+0.16ని గుణించండి.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

మరొక సమీకరణములో rను \frac{-2t+16}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

0.05 సార్లు \frac{-2t+16}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

-\frac{3t}{100}కు -\frac{t}{70}ని కూడండి.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4}{35}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{31}{700}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$t=-\frac{67}{31}$$

r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}లో tను -\frac{67}{31} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు rని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{2}{7} సార్లు -\frac{67}{31}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{134}{217}కు \frac{16}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$r=\frac{90}{31}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

r మరియు t మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

\frac{7r}{100} మరియు \frac{r}{20}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 0.05తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.07తో గుణించండి.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.0035r-0.0021t=0.0147ని 0.0035r+0.001t=0.008 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

-\frac{7r}{2000}కు \frac{7r}{2000}ని కూడండి. \frac{7r}{2000} మరియు -\frac{7r}{2000} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{21t}{10000}కు \frac{t}{1000}ని కూడండి.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -0.0147కు 0.008ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$0.0031t=-0.0067$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.0031తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$t=-\frac{67}{31}$$

0.05r-0.03t=0.21లో tను -\frac{67}{31} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు rని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -0.03 సార్లు -\frac{67}{31}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{201}{3100}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$r=\frac{90}{31}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$