{l}{-x+3y=6}{x-7y=14} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 6 } \\ { x - 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-21$$

$$y=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-x+3y=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x=-3y+6$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

-1 సార్లు -3y+6ని గుణించండి.

$$x=3y-6$$

మరొక సమీకరణములో xను -6+3y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-7y=14.

$$3y-6-7y=14$$

-7yకు 3yని కూడండి.

$$-4y-6=14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$-4y=20$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=-5$$

x=3y-6లో yను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=3\left(-5\right)-6$$

3 సార్లు -5ని గుణించండి.

$$x=-15-6$$

-15కు -6ని కూడండి.

$$x=-21$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-21,y=-5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{3}{-\left(-7\right)-3}\\-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-21,y=-5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

-x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$-x+3y=6,-x-\left(-7y\right)=-14$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-x+3y=6,-x+7y=-14$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -x+7y=-14ని -x+3y=6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x+x+3y-7y=6+14$$

xకు -xని కూడండి. -x మరియు x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3y-7y=6+14$$

-7yకు 3yని కూడండి.

$$-4y=6+14$$

14కు 6ని కూడండి.

$$-4y=20$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=-5$$

x-7y=14లో yను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-7\left(-5\right)=14$$

-7 సార్లు -5ని గుణించండి.

$$x+35=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-21$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-21,y=-5$$