{l}{-m+4n=3}{2m+n=2} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { - m + 4 n = 3 } \\ { 2 m + n = 2 } \end{array} \right.$$

m, nని పరిష్కరించండి

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=\frac{8}{9}\approx 0.888888889$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-m+4n=3,2m+n=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న mని వేరు చేయడం ద్వారా mని పరిష్కరించండి.

$$-m+4n=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4nని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-m=-4n+3$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$m=-\left(-4n+3\right)$$

-1 సార్లు -4n+3ని గుణించండి.

$$m=4n-3$$

మరొక సమీకరణములో mను 4n-3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2m+n=2.

$$2\left(4n-3\right)+n=2$$

2 సార్లు 4n-3ని గుణించండి.

$$8n-6+n=2$$

nకు 8nని కూడండి.

$$9n-6=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$9n=8$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$n=\frac{8}{9}$$

m=4n-3లో nను \frac{8}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m=4\times \frac{8}{9}-3$$

4 సార్లు \frac{8}{9}ని గుణించండి.

$$m=\frac{32}{9}-3$$

\frac{32}{9}కు -3ని కూడండి.

$$m=\frac{5}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{5}{9},n=\frac{8}{9}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-m+4n=3,2m+n=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&4\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-4\times 2}&-\frac{4}{-1-4\times 2}\\-\frac{2}{-1-4\times 2}&-\frac{1}{-1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{4}{9}\times 2\\\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

m మరియు n మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$m=\frac{5}{9},n=\frac{8}{9}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-m+4n=3,2m+n=2$$

-m మరియు 2mని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$2\left(-1\right)m+2\times 4n=2\times 3,-2m-n=-2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2m+8n=6,-2m-n=-2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2m-n=-2ని -2m+8n=6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2m+2m+8n+n=6+2$$

2mకు -2mని కూడండి. -2m మరియు 2m విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8n+n=6+2$$

nకు 8nని కూడండి.

$$9n=6+2$$

2కు 6ని కూడండి.

$$9n=8$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$n=\frac{8}{9}$$

2m+n=2లో nను \frac{8}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2m+\frac{8}{9}=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2m=\frac{10}{9}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$m=\frac{5}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=\frac{5}{9},n=\frac{8}{9}$$