{l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-2$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-8x+4y=24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-8x=-4y+24$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

-\frac{1}{8} సార్లు -4y+24ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2}-3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

-7 సార్లు \frac{y}{2}-3ని గుణించండి.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

7yకు -\frac{7y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 21ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7}{2}y=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=2$$

x=\frac{1}{2}y-3లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

\frac{1}{2} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=1-3$$

1కు -3ని కూడండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-2,y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

-8x మరియు -7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -8తో గుణించండి.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 56x-56y=-224ని 56x-28y=-168 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

-56xకు 56xని కూడండి. 56x మరియు -56x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-28y+56y=-168+224$$

56yకు -28yని కూడండి.

$$28y=-168+224$$

224కు -168ని కూడండి.

$$28y=56$$

రెండు వైపులా 28తో భాగించండి.

$$y=2$$

-7x+7y=28లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-7x+7\times 2=28$$

7 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$-7x+14=28$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 14ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x=14$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=2$$