{l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \left(x-2\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

x-2yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6xని పొందడం కోసం -4x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 3 వర్గము.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8ని పొందడం కోసం 9ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$-6x+4+4y=-8$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12ని పొందడం కోసం 4ని -8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+4y=-12$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-6x+4y=-12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x=-4y-12$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

-\frac{1}{6} సార్లు -4y-12ని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{2y}{3}+2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

2 సార్లు \frac{2y}{3}+2ని గుణించండి.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

yకు \frac{4y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7}{3}y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=0$$

x=\frac{2}{3}y+2లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=0$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \left(x-2\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

x-2yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6xని పొందడం కోసం -4x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 3 వర్గము.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8ని పొందడం కోసం 9ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$-6x+4+4y=-8$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12ని పొందడం కోసం 4ని -8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+4y=-12$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2,y=0$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \left(x-2\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

x-2yతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6xని పొందడం కోసం -4x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right)ని పరిగణించండి. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి గుణకారాన్ని చతరుస్రాల మధ్య తేడా వలె మార్చండి: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 3 వర్గము.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8ని పొందడం కోసం 9ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$-6x+4+4y=-8$$

రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12ని పొందడం కోసం 4ని -8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+4y=-12$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

-6x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -6తో గుణించండి.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -12x-6y=-24ని -12x+8y=-24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

12xకు -12xని కూడండి. -12x మరియు 12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y+6y=-24+24$$

6yకు 8yని కూడండి.

$$14y=-24+24$$

24కు -24ని కూడండి.

$$14y=0$$

రెండు వైపులా 14తో భాగించండి.

$$y=0$$

2x+y=4లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x=4$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=0$$