{l}{(x+3)(y-1)=xy+2}{(x-1)(y+3)=xy-2} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 3 ) ( y - 1 ) = x y + 2 } \\ { ( x - 1 ) ( y + 3 ) = x y - 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-1తో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$-x+3y-3=2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$-x+3y=2+3$$

5ని పొందడం కోసం 2 మరియు 3ని కూడండి.

$$-x+3y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+3తో x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$3x-y-3=-2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$3x-y=-2+3$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$3x-y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-x+3y=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x=-3y+5$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-\left(-3y+5\right)$$

-1 సార్లు -3y+5ని గుణించండి.

$$x=3y-5$$

మరొక సమీకరణములో xను 3y-5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-y=1.

$$3\left(3y-5\right)-y=1$$

3 సార్లు 3y-5ని గుణించండి.

$$9y-15-y=1$$

-yకు 9yని కూడండి.

$$8y-15=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$8y=16$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$y=2$$

x=3y-5లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=3\times 2-5$$

3 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=6-5$$

6కు -5ని కూడండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-1తో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$-x+3y-3=2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$-x+3y=2+3$$

5ని పొందడం కోసం 2 మరియు 3ని కూడండి.

$$-x+3y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+3తో x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$3x-y-3=-2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$3x-y=-2+3$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$3x-y=1$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-1తో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy-x+3y-3=xy+2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy-x+3y-3-xy=2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$-x+3y-3=2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$-x+3y=2+3$$

5ని పొందడం కోసం 2 మరియు 3ని కూడండి.

$$-x+3y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y+3తో x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$xy+3x-y-3=xy-2$$

రెండు భాగాల నుండి xyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$xy+3x-y-3-xy=-2$$

0ని పొందడం కోసం xy మరియు -xyని జత చేయండి.

$$3x-y-3=-2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$3x-y=-2+3$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$3x-y=1$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-x+3y=5,3x-y=1$$

-x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 5,-3x-\left(-y\right)=-1$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3x+9y=15,-3x+y=-1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3x+y=-1ని -3x+9y=15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+3x+9y-y=15+1$$

3xకు -3xని కూడండి. -3x మరియు 3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y-y=15+1$$

-yకు 9yని కూడండి.

$$8y=15+1$$

1కు 15ని కూడండి.

$$8y=16$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$y=2$$

3x-y=1లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-2=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$3x=3$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$