{l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \left(x+2\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5ని పొందడం కోసం 4 మరియు 1ని కూడండి.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$4x+5=5y$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+5-5y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$4x-5y=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x-5y=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$4x=5y-5$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -5+5yని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5+5y}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

3 సార్లు \frac{-5+5y}{4}ని గుణించండి.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

yకు \frac{15y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{15}{4}ని కూడండి.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{19}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=1$$

x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{5}{4}కు -\frac{5}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \left(x+2\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5ని పొందడం కోసం 4 మరియు 1ని కూడండి.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$4x+5=5y$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+5-5y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$4x-5y=-5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. \left(x+2\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5ని పొందడం కోసం 4 మరియు 1ని కూడండి.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$4x+5=5y$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+5-5y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$4x-5y=-5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

4x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12x+4y=4ని 12x-15y=-15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

-12xకు 12xని కూడండి. 12x మరియు -12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-15y-4y=-15-4$$

-4yకు -15yని కూడండి.

$$-19y=-15-4$$

-4కు -15ని కూడండి.

$$-19y=-19$$

రెండు వైపులా -19తో భాగించండి.

$$y=1$$

3x+y=1లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+1=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=0$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=1$$