{l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 సార్లు b-2013ని గుణించండి.

$$a-2b+4026+2012=3$$

2012కు 4026ని కూడండి.

$$a-2b+6038=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6038ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a-2b=-6035$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2bని కూడండి.

$$a=2b-6035$$

మరొక సమీకరణములో aను 2b-6035 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

2012కు -6035ని కూడండి.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 సార్లు 2b-4023ని గుణించండి.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

4 సార్లు b-2013ని గుణించండి.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

4bకు 6bని కూడండి.

$$10b-12069-8052=5$$

-8052కు -12069ని కూడండి.

$$10b-20121=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 20121ని కూడండి.

$$10b=20126$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$b=\frac{10063}{5}$$

a=2b-6035లో bను \frac{10063}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

2 సార్లు \frac{10063}{5}ని గుణించండి.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

\frac{20126}{5}కు -6035ని కూడండి.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచడం కోసం మొదటి సమీకరణమును సరళీకృతం చేయండి.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 సార్లు b-2013ని గుణించండి.

$$a-2b+4026+2012=3$$

2012కు 4026ని కూడండి.

$$a-2b+6038=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6038ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a-2b=-6035$$

ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచడం కోసం రెండవ సమీకరణమును సరళీకృతం చేయండి.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 సార్లు a+2012ని గుణించండి.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

4 సార్లు b-2013ని గుణించండి.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

-8052కు 6036ని కూడండి.

$$3a+4b-2016=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2016ని కూడండి.

$$3a+4b=2021$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$