{l}{x/y=e}{x+y=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా yతో గుణించండి.

$$x=ey$$

మరొక సమీకరణములో xను ey స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=1.

$$ey+y=1$$

yకు eyని కూడండి.

$$\left(e+1\right)y=1$$

రెండు వైపులా e+1తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

x=eyలో yను \frac{1}{e+1} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

e సార్లు \frac{1}{e+1}ని గుణించండి.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా yతో గుణించండి.

$$x=ey$$

రెండు భాగాల నుండి eyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-ey=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా yతో గుణించండి.

$$x=ey$$

రెండు భాగాల నుండి eyని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-ey=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x+y=1ని x+\left(-e\right)y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

-xకు xని కూడండి. x మరియు -x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

-yకు -eyని కూడండి.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

రెండు వైపులా -e-1తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

x+y=1లో yను \frac{1}{1+e} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{1+e}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

వేరియబుల్ y అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$