{l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2ని పొందడం కోసం 1 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3ని పొందడం కోసం 2 మరియు 1ని కూడండి.

$$3x+y=3\times 3$$

9ని పొందడం కోసం 3 మరియు 3ని గుణించండి.

$$3x+y=9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6ని పొందడం కోసం 3 మరియు 2ని గుణించండి.

$$6x-5y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+y=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-y+9$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -y+9ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{3}+3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

6 సార్లు -\frac{y}{3}+3ని గుణించండి.

$$-2y+18-5y=-3$$

-5yకు -2yని కూడండి.

$$-7y+18=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7y=-21$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{3}y+3లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

-\frac{1}{3} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=-1+3$$

-1కు 3ని కూడండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2ని పొందడం కోసం 1 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3ని పొందడం కోసం 2 మరియు 1ని కూడండి.

$$3x+y=3\times 3$$

9ని పొందడం కోసం 3 మరియు 3ని గుణించండి.

$$3x+y=9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6ని పొందడం కోసం 3 మరియు 2ని గుణించండి.

$$6x-5y=-3$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2ని పొందడం కోసం 1 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3ని పొందడం కోసం 2 మరియు 1ని కూడండి.

$$3x+y=3\times 3$$

9ని పొందడం కోసం 3 మరియు 3ని గుణించండి.

$$3x+y=9$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6ని పొందడం కోసం 3 మరియు 2ని గుణించండి.

$$6x-5y=-3$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

3x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 18x-15y=-9ని 18x+6y=54 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

-18xకు 18xని కూడండి. 18x మరియు -18x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y+15y=54+9$$

15yకు 6yని కూడండి.

$$21y=54+9$$

9కు 54ని కూడండి.

$$21y=63$$

రెండు వైపులా 21తో భాగించండి.

$$y=3$$

6x-5y=-3లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x-5\times 3=-3$$

-5 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$6x-15=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$6x=12$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=3$$