{l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

ప్రతిక్షేపణను మరియు చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 4తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి myని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-my=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

సమాన గుర్తు ఎడమ వైపున xని వేరు చేయడం ద్వారా x కోసం x+\left(-m\right)y=1ని పరిష్కరించండి.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \left(-m\right)yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=my+1$$

మరొక సమీకరణములో xను my+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

my+1 వర్గము.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

m^{2}y^{2}కు 2y^{2}ని కూడండి.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2+1m^{2}, b స్థానంలో 1\times 1\times 2m మరియు c స్థానంలో -3 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

1\times 1\times 2m వర్గము.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-4 సార్లు 2+1m^{2}ని గుణించండి.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-8-4m^{2} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+12m^{2}కు 4m^{2}ని కూడండి.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2} వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2 సార్లు 2+1m^{2}ని గుణించండి.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{6+4m^{2}}కు -2mని కూడండి.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

4+2m^{2}తో -2m+2\sqrt{6+4m^{2}}ని భాగించండి.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{6+4m^{2}}ని -2m నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

4+2m^{2}తో -2m-2\sqrt{6+4m^{2}}ని భాగించండి.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y కోసం రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} మరియు -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. సమీకరణం x=my+1లో \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} బదులుగా yతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణాలకు సరిపోయే విధంగా xకు సంబంధితంగా ఉండే విలువను కనుగొనండి.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

m సార్లు \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}ని గుణించండి.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

1కు m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}ని కూడండి.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

ఇప్పుడు సమీకరణము x=my+1లో -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} బదులుగా yతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణములకు సరిపోయే విధంగా xకు సంబంధితంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

m సార్లు -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}ని గుణించండి.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

1కు m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right)ని కూడండి.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$