{l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$x+y+2-3y=6$$

-2yని పొందడం కోసం y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-2y+2=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+4y=6x-8$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3xని పొందడం కోసం 3x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$-3x+4y=-8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-2y=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$x=2y+4$$

మరొక సమీకరణములో xను 4+2y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

-3 సార్లు 4+2yని గుణించండి.

$$-6y-12+4y=-8$$

4yకు -6yని కూడండి.

$$-2y-12=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$-2y=4$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=-2$$

x=2y+4లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

2 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=-4+4$$

-4కు 4ని కూడండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$x+y+2-3y=6$$

-2yని పొందడం కోసం y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-2y+2=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+4y=6x-8$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3xని పొందడం కోసం 3x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$-3x+4y=-8$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$x+y+2-3y=6$$

-2yని పొందడం కోసం y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-2y+2=6$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=6-2$$

4ని పొందడం కోసం 2ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2y=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+4y=6x-8$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3xని పొందడం కోసం 3x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$-3x+4y=-8$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3x+4y=-8ని -3x+6y=-12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

3xకు -3xని కూడండి. -3x మరియు 3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y-4y=-12+8$$

-4yకు 6yని కూడండి.

$$2y=-12+8$$

8కు -12ని కూడండి.

$$2y=-4$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=-2$$

-3x+4y=-8లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

4 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$-3x-8=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$-3x=0$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-2$$