{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -5,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా y\left(y+5\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2తో yని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7తో y+5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి yxని వ్యవకలనం చేయండి.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0ని పొందడం కోసం yx మరియు -yxని జత చేయండి.

$$2y=7y+5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-7y=5x+35$$

-5yని పొందడం కోసం 2y మరియు -7yని జత చేయండి.

$$-5y=5x+35$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

-\frac{1}{5} సార్లు 35+5xని గుణించండి.

$$y=-x-7$$

మరొక సమీకరణములో yను -x-7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-4 సార్లు -x-7ని గుణించండి.

$$4x+28+2x=-1$$

2xకు 4xని కూడండి.

$$6x+28=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 28ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-29$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7లో xను -\frac{29}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-1 సార్లు -\frac{29}{6}ని గుణించండి.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

\frac{29}{6}కు -7ని కూడండి.

$$y=-\frac{13}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -5,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా y\left(y+5\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2తో yని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7తో y+5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి yxని వ్యవకలనం చేయండి.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0ని పొందడం కోసం yx మరియు -yxని జత చేయండి.

$$2y=7y+5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-7y=5x+35$$

-5yని పొందడం కోసం 2y మరియు -7yని జత చేయండి.

$$-5y=5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5y-5x=35$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -5,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా y\left(y+5\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+2తో yని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

x+7తో y+5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి yxని వ్యవకలనం చేయండి.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0ని పొందడం కోసం yx మరియు -yxని జత చేయండి.

$$2y=7y+5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-7y=5x+35$$

-5yని పొందడం కోసం 2y మరియు -7yని జత చేయండి.

$$-5y=5x+35$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5y-5x=35$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y మరియు -4yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -5తో గుణించండి.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20y-10x=5ని 20y+20x=-140 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

-20yకు 20yని కూడండి. 20y మరియు -20y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$20x+10x=-140-5$$

10xకు 20xని కూడండి.

$$30x=-140-5$$

-5కు -140ని కూడండి.

$$30x=-145$$

రెండు వైపులా 30తో భాగించండి.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1లో xను -\frac{29}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

2 సార్లు -\frac{29}{6}ని గుణించండి.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{29}{3}ని కూడండి.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=-\frac{13}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$